Figuras semejantes y factor de escala (razón de semejanza)
Aprende
Una foto y su ampliación tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño. Dos figuras así se llaman semejantes.
La casa grande es una ampliación de la pequeña: son semejantes En dos figuras semejantes, los ángulos correspondientes son iguales. Los lados correspondientes, los que ocupan el mismo lugar en las dos, se multiplican todos por el mismo número. Ese número se llama factor de escala, o razón de semejanza. Se suele escribir k.
ABC y DEF son semejantes: A corresponde a D, B a E y C a F. Los arcos del mismo color son ángulos iguales El factor de escala se calcula dividiendo un lado de la copia entre su lado correspondiente del original. Aquí, 8 ÷ 4 = 2 y 12 ÷ 6 = 2, así que k = 2. Con k mayor que 1, la copia es una ampliación. Con k menor que 1, como , es una reducción. Con k = 1, mide lo mismo que el original.
Para hallar un lado de la copia, multiplica el lado del original por k. Para volver al original, divide entre k.
Con k = 3, un lado de 4 cm pasa a medir 3 × 4 = 12 cm Cuidado: no se suma. Si a un rectángulo de 2 cm × 3 cm le sumas 2 cm a cada lado, queda de 4 cm × 5 cm. Pero 4 ÷ 2 = 2, y 5 ÷ 3 no es 2. Los lados no se multiplican por el mismo número, y la figura cambia de forma.
2 × 3 y 4 × 5 no son semejantes
Ejemplos
Ejemplo 1
El triángulo ABC tiene lados AB = 2 cm, BC = 3 cm y CA = 4 cm. DEF es una ampliación suya con factor de escala 3. ¿Cuánto miden los lados de DEF?
- Cada lado se multiplica por 3.
- DE = 2 × 3 = 6 cm.
- EF = 3 × 3 = 9 cm y FD = 4 × 3 = 12 cm.
DE mide 6 cm, EF mide 9 cm y FD mide 12 cm.
¡Ojo! Aquí muchos suman 3 a cada lado y dicen 5 cm, 6 cm y 7 cm. Pero con factor 3 se multiplica.
Ejemplo 2
Mara reduce una foto de 20 cm de ancho y 15 cm de alto. La foto nueva mide 8 cm de ancho. ¿Cuál es el factor de escala? ¿Cuánto mide de alto?
- El factor es el ancho nuevo entre el ancho original: 8 ÷ 20 = 0,4.
- El alto nuevo es el alto original por k: 15 × 0,4 = 6 cm.
El factor de escala es 0,4 y la foto nueva mide 6 cm de alto.
¡Ojo! Aquí muchos hacen 20 ÷ 8 = 2,5 y dicen que k es 2,5. Ese es el factor al revés, el que lleva de la foto nueva a la original.
Ejemplo 3
¿Son semejantes un rectángulo de 3 cm × 5 cm y otro de 9 cm × 12 cm?
- Compara los lados correspondientes: el ancho con el ancho y el alto con el alto.
- 9 ÷ 3 = 3, pero 12 ÷ 5 = 2,4.
- Los lados no se multiplican por el mismo número.
No son semejantes: sus lados no tienen el mismo factor.
¡Ojo! Aquí muchos dicen que sí, porque los dos son rectángulos y todos sus ángulos son rectos. Con los ángulos no basta.
Un reto para pensar
Elige un dibujo pequeño de tu cuaderno y cópialo en una cuadrícula con cuadros del doble de tamaño. Mide dos lados correspondientes en los dos dibujos: ¿cuántas veces es mayor la copia? Después hazlo con cuadros del triple de tamaño y comprueba el nuevo factor.
Practica
Rondas de 10 preguntas. Elige el nivel:
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